נוסף לפרסומו כמתכנן של מכשירים מכניים, נודע ארכימדס גם בזכות הישגיו במתמטיקה. השגים אלה מעידים על יצירתיות וחזון. פלוטארכוס כתב עליו: "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים".
ארכימדס היה הראשון שהשתמש בגדלים אינפיניטסימלים באמצעות חלוקת קבוצה לאינסוף תת-קבוצות השואפות בגודלן לאפס, הוא הגיע לדיוק המרבי האפשרי לגבי גודל הקבוצה. שיטה זו ידועה בשם "שיטת המיצוי", והיא מהווה צעד ראשון לקראת החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. ארכימדס נעזר בשיטה זו כדי לחשב את שטחו של עיגול, בכך גילה את הנוסחה המפורסמת לשטח מעגל המיוחסת לו
ארכימדס לא הסתפק בחישוב שטחו של עיגול. הוא נעזר שוב בשיטת המיצוי והמציא שיטות לחישוב שטחים ונפחים, חישב שטחים החסומים בפרבולות ובספירלות, נפחי גלילים, פרבולואידים ומקטעים כדוריים. הוא מצא את מרכזי הכובד של ההמיספירה (חצי ספירה), ושל טריז גלילי, ובכך חזה שוב את החשבון האינטגרלי. הוא הוכיח ששטחו ונפחו של כדור הוא ביחס של 2:3 לשטחו ונפחו של גליל החוסם כדור זה. כיוון שנוסחאות לחישוב שטח ונפח של גליל היו ידועות, הוכחתו של ארכימדס סיפקה לראשונה נוסחאות לחישוב שטח ונפח של כדור.
ארכימדס היה הראשון, ואולי אף היחיד, מבין המתמטיקאים היוונים שעסק בעקומים מכניים (כאלה שנוצרים על ידי נקודה נעה), בראותו עקומים אלה כנושא ראוי לחקירה, בניגוד לדבקותם של המתמטיקאים היוונים בבנייה בסרגל ומחוגה בלבד. במסגרת חקירתו זו השתמש בספירלת ארכימדס לשם תרבוע העיגול, ולשם שילוש הזווית (ב-"על ספירלות").
בחיבורו "המדידה של המעגל", מצא ארכימדס את השורש הריבועי של 3 כגדול מ-265/153 וקטן מ-1351/780. הערך המחושב של גודל זה הוא 1.7320508076, ולכן אומדן זה מדויק מאוד. ככל הנראה הוא הגיע להערכה זאת באמצעות שיטות חדשות למציאת שורשים שהמציא, אך הוא לא תיאר ולא הסביר את שיטותיו.
בחיבורו "תרבוע הפרבולה", הוכיח ארכימדס שהשטח הכלוא על ידי פרבולה וקו ישר שווה ל-4/3 כפול שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים. במהלך הפתרון הוא סיכם לראשונה את הטור הגאומטרי האינסופי בעל מנה 1/4:
ב"מחשב החול", ניסה ארכימדס לחשב את מספר גרגירי החול שהיקום עשוי להכיל. במטרה להראות שמספר גרגירי החול ביקום אמנם גדול מאוד אבל סופי. כדי לספור את גרגירי החול, ארכימדס המציא שיטה חדשה שהתבססה על הסמל היווני לרבבה
כתבים חדשים שנכתבו על ידי ארכימדס ונחשפו בזמננו גרמו להרמת קרנו בעיני היסטוריוני המתמטיקה. בכתבים הללו נתגלו תובנות עמוקות של המושגים של אינסוף וקבוצה בת מנייה, תובנות אשר לא הושגו עד לזמנו של גאורג קנטור, שחי כ-2,000 שנה אחרי ארכימדס (ארכימדס התחבט בגרסה של פרדוקס גלילאו). כמו כן, בעקבות עבודות שחזור ומחקר שנעשו על הפלימפססט של ארכימדס הועלתה ההשערה, שארכימדס עסק בשאלות קומבינטוריות, יותר מאלפיים שנה לפני המצאת מדע הקומבינטוריקה. בכתבים הללו, ובמיוחד בספר "השיטה" של ארכימדס, מופיעות שיטות אחרות לקבלת התוצאות של ארכימדס שהופיעו בכתבים אחרים שלו. רעיונות ייחודיים לחיבור זה הם שימוש בגרסה מוקדמת של סכומי רימן ואינטגרציית רימן (שארכימדס נעזר בה במסגרת שימושו בשיטת המיצוי המוכללת, בה מחלקים את שטח הצורה למקטעים באורכים לא שווים), כמו גם חישובי נפחים של צורות אחדות אשר לא מופיעים בשום מקום אחר בכתביו.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה