ב-1783, במאמר שנשלח לאקדמיה הצרפתית, אדריאן-מארי לז'נדר הציג את מה שנקרא כעת פונקציות לז'נדר. אם לשתי נקודות במישור יש קואורדינטות פולריות (r, θ) ו- (r ', θ'), כאשר r ' ≥ r, אז באמצעות מניפולציה אלמנטרית ניתן לקבל שההופכי למרחק בין שתי הנקודות, d, ניתן לכתיבה כ-:
![\frac{1}{d} = \frac{1}{r'} \left [ 1 - 2 \cos (\theta' - \theta) \frac{r}{r'} + \left ( \frac{r}{r'} \right ) ^2 \right ] ^{- \tfrac{1}{2}}.](https://upload.wikimedia.org/math/7/9/e/79e1f4461a8732513dcf393e56f1b868.png)
את הביטוי הזה ניתן לפתח לחזקות של (r/r ') באמצעות משפט הבינום המוכלל של ניוטון כדי לקבל:
סדרת הפונקציות P0k(cosф היא הסדרה של הפונקציות הנקראות פונקציות לז'נדר והשימושיות שלהן נובעות מהעובדה שכל פונקציה של נקודות על מעגל ניתנת לפיתוח כטור שלהן.
לפלס, עם קרדיט זעום ללז'נדר, עשה את הכללה הלא-טריוויאלית של התוצאה לשלושה ממדים והציג קבוצה כללית יותר של פונקציות, ההרמוניות הספריות או מקדמי לפלס, כאשר השימוש בשם האחרון אינו נפוץ.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה