במאמרו "Allgemeine Lehrsatze" משנת 1840, אשר סיים את פעילותו המחקרית בפיזיקה תאורטית, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בתורת הפוטנציאל (potential theory) - תחום במתמטיקה העוסק בחקר פונקציות שמקיימות את משוואת לפלס (ונקראות פונקציות הרמוניות), אשר צמח מתוך בעיות פיזיקליות באלקטרוסטטיקה ותורת הכבידה והוכיח חשיבות עצומה בעבודותיו בפיזיקה של גאוס. גאוס הוא שטבע את המונח "פוטנציאל" (באופן בלתי תלוי בגרין, שניהם גזרו את השם מסכולסטיקה ימי ביניימית). במאמר, גאוס הראה שעל אף המקור הפיזיקלי השונה של תופעות שונות, התיאור המתמטי שלהם נשען על גוף זהה של משפטים מתמטיים, זיהה את הצורך במשפטי קיום כלליים בתחום, והציב סטנדרטים של ריגורוזיות שנותרו בלתי משופרים במשך יותר ממאה אחרי פרסומו. במאמר גאוס סיפק הוכחה ריגורוזית ראשונה למשוואת פואסון המתארת את הפוטנציאל החשמלי גם במרחב שאינו ריק ממטענים (בניגוד למשוואת לפלס). המאמר סיפק בסיס ריגורוזי חדש לתורת הפוטנציאל, ופיתח את התחום משמעותית מעבר להתקדמויות שנעשו על ידי דמויות מפתח קודמות בתחום כגון ז'וזף לואי לגרנז', פייר סימון לפלס, סימאון דני פואסון וג'ורג' גרין (עבודתו של גרין הייתה מקבילה לזו של גאוס). הוא הציג כלים כלליים חדשים באנליזה וקטורית כמו משפט הדיברגנץ של גאוס, יחד עם משפטים מקוריים חשובים לאפיון פונקציות הרמוניות כגון משפט הערך הממוצע של גאוס ועקרון המקסימום. אחד העקרונות החשובים שגאוס זיהה במאמר הוא עקרון דיריכלה, עקרון היוריסטי חשוב שגאוס לא נתן לו הוכחה (הצדקה לעקרון ניתנה רק במאה ה-20), אבל שהפך לעקרון מנחה בעבודות רבות מאוחרות יותר בתורת הפוטנציאל.
בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה) סיפק גאוס הוכחה מבריקה של המשפט היסודי של האלגברה, משפט חשוב ממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שננקטו על ידי אוילר, לגראנז' וד'אלמבר, והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות של המשפט. ההוכחה שלו הכילה טיעון מקורי, טופולוגי במהותו, והגישה הכללית בה נקט בהוכחה הייתה מקורית.
באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה והיה בה פער לוגי, בשל שימוש "מובלע" במשפט העקום של ז'ורדן (Jordan's curve theorem), והיא לא קבילה בסטנדרטים מודרניים. גאוס זיהה את החלל בהוכחתו ובמרוצת חייו סיפק עוד 3 הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-1816 (האחת אלגברית באופייה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן ב-1849 והיא נחשבת לדקדקנית ביותר מביניהן לפי הסטנדרטים של היום. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים. בנקודה זו ראוי לציין כי הוא עשה שימוש רשמי בויזואליזציה שלהם כנקודות במישור המרוכב רק ב-1831, כאשר הוא פרסם שני מאמרים בתורת המספרים בהם הציג את ממצאיו לגבי חוק ההדדיות מסדר רביעי והציג לראשונה את חוג השלמים של גאוס ואת תכונותיו, ובכך הציב את התאוריה של המספרים המרוכבים על בסיס איתן (ככל הנראה גאוס השתמש בתיאור המספרים המרוכבים כנקודות במישור עוד לפני עבודת הדוקטורט שלו, אך פרסמו רק ב-1831).
ב-1801 גאוס פרסם את יצירת המופת הגדולה ביותר שלו: "מחקרים אריתמטיים" (Disquisitiones Arithmeticae) שאת כתיבתה השלים עוד ב-1798, אך החליט לפרסמה רק 3 שנים מאוחר יותר. ביצירה זו גאוס הציג לראשונה כלי חדש לתיאור בעיות בתורת המספרים - אריתמטיקה מודולרית, הוכיח לראשונה את משפט ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות, ויצר תאוריה של בנייה בסרגל ומחוגה (שעל פיה הוכיח כי המצולע המשוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה). הניתוח שגאוס נתן בספרו לתורת התבניות הריבועיות היה מעמיק במיוחד והיה מלא ברעיונות ומושגים חדשים. האופן שבו ניתח גאוס בעיות בספר והקונספציה החדשה היוותה מקור השראה למתמטיקאים במשך דורות אחרי פרסום הספר. כך למשל, ניתוחו של גאוס את בעיית הבנייה בסרגל ומחוגה הכיל חלק מהאלמנטים הרעיוניים של תורת גלואה, והספר הזה היווה מקור השראה לגלואה.
באותה שנה, גילה האסטרונום האיטלקי ג'וזפה פיאצי את האסטרואיד קרס. אולם פיאזי יכול לעקוב אחריו רק למשך מספר חודשים בלבד, וחלק מסלולו בו הצליח לצפות היווה רק 3 מעלות בשמי הלילה. לאחר מכן הוא נעלם באופן זמני מאחורי ההילה של השמש. מספר חודשים מאוחר יותר, כשקרס היה אמור להופיע שוב, פיאזי לא היה מסוגל לאתר מחדש את קרס: הכלים המתמטיים של התקופה לא היו מסוגלים לבצע חיזוי של מיקום האסטרואיד בעזרת מידע כל-כך זעום - 3 מעלות מהווים פחות מ-1% ממסלולו של האסטרואיד.
גאוס, שהיה בן 23 באותו זמן, שמע על הבעיה והחליט לנסות ולחזות את מיקומו של האסטרואיד. לאחר 3 חודשי עבודה מאומצת, הצליח גאוס לחזות את התזמון ואת המקום בו יופיע האסטרואיד שוב - הוא חזה מיקום בו יופיע קרס מחדש בדצמבר 1801. ואכן, בהתאם לתחזית, שנה אחרי הפעם הראשונה בה נראה, הופיע קרס מחדש בזמן זה ומיקומו התאים. התחזית למיקום התבררה כמדויקת בדרגה של חצי-מעלה כאשר האסטרואיד נצפה על ידי הברון פרנץ פון זאך ב-31 בדצמבר 1801 בעיר גותה, ויממה מאוחר יותר על ידי היינריך אולברס בברמן. ההישג הביא לגאוס תהילה והכרה מיידית גדולה והוביל לכך שהוצעה לו משרה כפרופסור לאסטרונומיה וכמנהל מצפה הכוכבים של אוניברסיטת גטינגן. העובדה שהחיזוי היה כה מדויק, חרף מגבלות הכלים המתמטיים של התקופה, זעזעה את הקהילה המדעית באותה תקופה. זאך כתב כי "בלעדי העבודה האינטליגנטית והחישובים של גאוס ייתכן כי לעולם לא היינו מוצאים מחדש את קרס שוב". בשלב זה בחייו עדיין נתמך גאוס במלגה שניתנה לו מטעם הדוכס מבראונשווייג ולא נזקק לעבודה. אולם, עם מותו של הדוכס ב-1807 החליט לקבל את המשרה שהוצעה לו והחזיק בה עד יום מותו.
השיטה של גאוס הייתה כרוכה בקביעת חתך חרוטי במרחב בהינתן המוקד שלו (השמש), וחיתוך החרוט עם 3 ישרים נתונים (קווי ראייה מכדור הארץ, שהוא עצמו נע במסלול אליפטי, לקרס) ובהינתן הזמן שלוקח לקרס לעבור את הקשתות המותוות בין הישרים האלו (אשר מהם ניתן לחשב את אורך הקשתות באמצעות החוק השני של קפלר). בעיה זו מובילה למשוואה ממעלה שמינית, אשר פתרון אחד שלה, מסלול כדור הארץ, ידוע. הפתרון שמחפשים מופרד אז מ-6 האחרים בהתבסס על התנאים הפיזיקליים. בעבודה זו גאוס השתמש בשיטות אפרוקסימציה מעמיקות אשר הוא יצר במיוחד לצורך מטרה זו.
שיטה אחת כזו הייתה טרנספורם פוריה מהיר (Fast Fourier Transform). בעוד שיטה זו מיוחסת בדרך כלל למאמר משנת 1965 של המתמטיקאים קולי וטוקי, גאוס פיתח אותה כשיטת אינטרפולציה טריגונומטרית. המאמר שלו, Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata, פורסם רק לאחר מותו בכרך השלישי של אוסף העבודות שלו. עבודה זו אף חוזה את ההצגה הראשונה של ז'וזף פורייה על הנושא בשנת 1807.
גילוי האסטרואיד קרס על ידי פיאצי הוביל את גאוס לעבודתו המונומנטלית על התאוריה של תנועת אסטרואידים המושפעים מגופים גדולים, אותה פרסם בשנת 1809 תחת השם - Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum - "תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש". בעבודה זו, הוא כה כיסה, איחד, וייעל את המתמטיקה של חיזוי המסלולים של המאה ה-18 עד כי עבודה זאת נחשבת אבן פינה בתולדות האסטרונומיה החישובית. החיבור הציג את קבוע הכבידה הגאוסי, והכיל יישום מעמיק וממצה של שיטת הריבועים הפחותים אותה המציא, שיטה אשר משתמשים בה כיום בכל ענפי המדעים המדויקים כדי להקטין למינימום את ההשפעה של שגיאות מדידה. באמצעות הגדרת ההתפלגות הנורמלית של שגיאות, גאוס הוכיח בחיבורו את שיטתו שלו (ראו גם: סטטיסטיקת גאוס-מרקוב). ההתפלגות הנורמלית, שנחשבת להתפלגות החשובה ביותר בסטטיסטיקה ומיושמת בכל תחומי המדע, נקראת מאז בשם "פעמון גאוס" או "גאוסיאן". שיטה זו תוארה קודם לכן על ידי לז'נדר ב-1805 אך גאוס טען כי הוא השתמש בה כבר ב-1795.
בין השנים 1812 ל-1818, בשנים הראשונות לאחר חזרתו לגטינגן, גאוס חווה פרץ נוסף של רעיונות יצירתיים בתחומים שונים במתמטיקה, ובעקבות זאת הפיק מספר רב של מאמרים בולטים. בין מאמריו הראויים לציון הם מאמרו משנת 1813 בו מצא לחלוטין באופן אנליטי את המשיכה שיוצר אליפסואיד בכל נקודה במרחב, מאמרו Disquisitiones generales circa seriem infinitam - פתיחת העידן הריגורוזי של האנליזה המתמטית והדיון הסיסטמטי הראשון על טורים היפרגאומטריים וההצגה של הפונקציה ההיפרגאומטרית (הוא לא פרסם את המשוואה הדיפרנציאלית שמקיימת הפונקציה ההיפרגאומטרית; זו נמצאה בכתב יד לא מפורסם שלו לאחר מותו, יחד עם תכונות מעניינות נוספות של הפונקציה והטרנספורמציות שלה), מאמרו Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi - חיבור על שיטה חדשה לאינטגרציה, מאמרו Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen - דיון באמדים סטטיסטיים, ולסיום מאמרו היוצא מגדר הרגיל באסטרונומיה תאורטית משנת 1818 בו הוכיח שהפרטורבציה המסלולית הנגרמת על ידי גוף מסיבי לגוף קטן שקולה לפרטורבציה אשר הייתה נגרמת על ידי טבעת מסה אליפטית שצפיפותה בכל נקודה פרופורציונלית למסת הכוכב ויחסית הפוך למהירותו באותה נקודה[2] (עבודתו על הפרטורבציות של פאלאס הובילה אותו למשפט יוצא דופן זה). במקביל עסק גאוס בשורה של בעיות סבוכות בפיזיקה מתמטית: במכניקה, באקוסטיקה ועוד.
ב-1818 החליט גאוס לנצל את יכולותיו החישוביות לשימוש מעשי והוביל סקר גאודזי של ממלכת הנובר, וקישר לסקרים דניים מקבילים. כדי לקדם את הסקר המציא גאוס את ההליוטרופ, מכשיר העושה שימוש במראה כדי להחזיר אור שמש על פני מרחקים גדולים במטרה לסמן ולמדוד מרחקים של עמדות. מחקריו בגאודזיה העמידו יסודות חדשים למדע הגיאודזיה, ותרמו לנושאים רבים: יישומים מתמטיים כגון התאוריה המתמטית של קווים גאודטיים על משטח עקום, תיאור הצורה של כדור הארץ (בין היתר טבע את המונח "גאואיד") והסבר לאי רגולציות שלה, הכנת מפות מדויקות יותר של אזורים שונים ועוד. מחקריו בגאודזיה מצאו ביטוי בכמה מאמרים שפרסם בעשורים הקרובים, אחד מהם ב-1828 בו סיכם את רעיונותיו על צורת כדור הארץ, ומספר נוספים בהם שרטט את התאוריה הגאודטית שלו. בולטים במיוחד היו מאמריו "מדידת הפרש הגבהים בין אלטונה וגטינגן" (1828) שראוי לציון בזכות השימוש המיומן שנעשה בו ברגרסיה לינארית ו-"מחקרים על היסודות של גאודזיה גבוהה" (1843 ו-1846) שפורסם בשני כרכים והתבסס על המיפוי הקונפורמי של האליפסואיד לספירה. שתי העבודות היו בעלות השפעה אדירה על התפתחות הגיאודזיה, הן מהצד התאורטי והן מהצד המעשי. ענף הגאודזיה והמדידה של צורת כדור הארץ היה אזור נוח במיוחד ליישום הכלים החדשים של הסטטיסטיקה אותם פיתח, וזהו היה התחום אשר בו מצא גאוס את אחד היישומים הפוריים והעשירים ביותר של שיטת הריבועים הפחותים שלו, וכתוצאה הוא פרסם את חיבורו משנת 1823 Theoria combinationis obseruationum erroribus minimis obnoxiae בו דן בקלקולוס התצפיות באופן מעמיק. החיבור הזה הינו ספרו המעמיק ביותר של גאוס על סטטיסטיקה מתמטית, והוא כלל דיון מעמיק בשיטות סטטיסטיות שונות וביישומים שלהם בתחומים שונים, הציג והוכיח גרסה מוקדמת של אי שוויון צ'בישב, וכלל הוכחה מלאה ראשונה של משפט מרקוב. העבודה על משפט מרקוב וההוכחה שלו נעשתה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי אנדריי מרקוב בשנת 1900, כמעט 100 שנה מאוחר יותר, ונחשבת כיום לאבן הפינה באנליזה המודרנית של רגרסיה.
במסגרת עבודתו הגאודטית, גאוס עסק גם בתאוריה המתמטית שמאחורי הכנת מפות מישוריות מדויקות של כדור הארץ, ותוצר נוסף של מחקרו הגאודטי הוא מאמרו זוכה הפרס של האקדמיה הדנית למדעים שלו משנת 1823 - "פתרון כללי לבעיה של מיפוי משטח אחד על משטח אחר כך שהשניים יהיו דומים זה לזה בחלקיהם הקטנים ביותר" - שעסק בקרטוגרפיה, ובו עסק גאוס בבעיה של יצירת העתקות המעוותות בצורה מינימלית את מפת כדור הארץ.
לצורך כך הוא עשה שימוש אינטנסיבי בכלים מאנליזה מרוכבת וטריגונומטריה ספרית - הוא נעזר בהעתקות מרוכבות בין משטחים, כאשר הכלי האנליטי המרכזי שהוא עשה שימוש בו הוא משוואות קושי-רימן.
מאמר זה הניח את היסודות לתורה של מיפויים קונפורמיים של משטחים אחד אל השני, וניתן למתוח קו ישיר בינו לעבודת הדוקטורט המהפכנית של רימן משנת 1851 (במאמר גאוס כמעט הציע את משפט ההעתקה של רימן, אך הוא עצר על סיפה של תובנה זו), אשר יצרה בסיס גאומטרי אוניברסלי לתורה של פונקציות מרוכבות בדמותם של משטחי רימן. מאמר זה ביחד עם כתבים אחרים על גאודזיה שנמצאו בעזבונו, שימש גאודזיסטים גרמנים עד סוף המאה ה-19, והיווה את הבסיס להעתקת Gauss-Kruger שהתפתחה בשנת 1912, אשר אומצה במהלך המאה ה-20 ככלי מיפוי בסקלה גלובלית על ידי מדינות רבות, וזכתה למעמד איתן כבסיס לפיתוח כל הרשתות הטופוגרפיות המתחשבות בצורה האליפסואידית של כדור הארץ.
הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ועקומות. בין השאר, גאוס יצר את המושג של עקמומיות גאוס של משטחים, שהיא המושג המרכזי שגאוס הכניס לתחום. ב-1827, גאוס גילה וניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה (Theorema Egregium), המקשר בין הרעיון של עקמומיות משטח לגאומטריה של הצורות המתקיימות עליו, כלומר לזוויות ולמרחקים הנמדדים על פני המשטח ולהבדל בין תוצאות המדידות על פני המשטח לבין אלו הנקבעות בגאומטריה אוקלידית, והמשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה Disquisitiones circa superticies curvas, שהינו יצירתו המרכזית בתחום זה. כמה מהממצאים שהציג והוכיח בחיבור הזה היו משפטי השוואה בין תכונות מטריות וזוויתיות של מצולעים במישור לאלו של מצולעים על משטח עקום, וביניהם משפט לז'נדר בטריגונומטריה ספירית. החיבור הכיל גם משפט חשוב מאוד נוסף, משפט הקובע שהמגרעת הזוויתית של משולש שווה לאינטגרל על עקמומיות המשטח בתחום המשולש (את המשפט החשיב גאוס לאחד המשפטים החשובים והאלגנטיים ביותר בגאומטריה של משטחים, והוא ייחס לו את השם "Theorema Elegantissimum"). מאוחר יותר, גאוס הכליל בכתבים לא מפורסמים חלק מהתוצאות שב-Disquisitions superticies כדי לכלול גם את המקרה של קווים שאינם גאודזות, וכך הגדיר את המושג מרחיק הלכת של עקמומיות גאודטית (נכלאס, כרך 8, עמודים 386 - 396). במסגרת זו ניסח והוכיח גאוס משפט הידוע כמשפט גאוס-בונה, המקשר בין הגאומטריה של משטח לטופולוגיה, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה.
ב-1820 החל מתמטיקאי הונגרי בשם יאנוש בויאי, בנו של פרקש בויאי שהיה חבר טוב של גאוס, ליצור את התאוריה שלו לגבי גאומטריה לא אוקלידית ופרסם תוצאות לגביה ב-1832. מאוחר יותר טען גאוס שהוא הגיע בעצמו לתוצאות שפרסם בויאי, ואלו היו תוצאות אליהן הגיע בעצמו לפניו אבל לא פרסמן מעולם. הוא אכן הגיע לתוצאות אלה, כפי שניתן ללמוד ממכתבו לטאורינוס בשנת 1824, אך סירב לפרסמן מחשש לזעם ההמונים ("מוג לב במקצת" כינה אותו בשל כך מדען המחשב אדסחר דייקסטרה).
על אף טענותיו של גאוס, שאלת היקף הקרדיט הניתן לו על גילוי הגאומטריות הלא אוקלידיות נתונה למחלוקת בקרב היסטוריוני המתמטיקה. הוא היה הראשון להגיע לרעיון שניתן לוותר על אקסיומת המקבילים ולקבל בכך גאומטריות שונות בתכלית מהגאומטריה האוקלידית. הוא אכן חשף מספר תוצאות משמעותיות על הגאומטריה החדשה במכתביו; הבולטות ביותר שבהן הן במכתבו לגרלינג משנת 1819, בו נתן נוסחה לחישוב החסם על השטח המרבי של משולש בגאומטריה היפרבולית בעלת עקמומיות שלילית קבועה לפי גובהו של המשולש האידאלי המתאים, ומכתבו לשומאכר משנת 1831,
שהתוצאה הבולטת שלו היא מתן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית. כתבים אחרים שלו מהתקופה מכילים את המשוואות של הפסאודוספירה (משטח אותו מכנה גאוס "הנגדי של הספירה"). אולם הפיתוח השיטתי הראשון של תוצאותיו מופיע בכתב יד לא מפורסם שלו שכותרתו טריגונומטריה טרסצנדנטלית, שמתוארך לאחרי 1840, ככל הנראה זמן קצר לאחר הפרסום של לובצ'בסקי. ייתכן כמובן שגאוס ידע על תוצאות אלו זמן רב קודם לכן, והחליט לרשמן באופן שיטתי רק לאחר הפרסומים של בולאי ולובצ'בסקי, אך נושא זה נתון לספקולציות בקרב היסטוריונים.
בקונטקסט של עבודתו בגאומטריה לא אוקלידית, מאוחר בחייו גאוס ניסח והוכיח את משפט ה-pentagramma mirificum שלו.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה