קרל פרידריך גאוס - ביוגרפיה - שנותיו האחרונות

אחרי 1828 החל להסתמן כיוון חדש בעבודתו של גאוס, והוא החל לחקור בעיקר בעיות בפיזיקה תאורטית. הפירות הראשונים שהניב מחקר זה היו מאמרו על מכניקה משנת 1829: Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Machanik, בו ניסח מחדש את המכניקה הקלאסית באמצעות עקרון חדש בחשבון וריאציות (Gauss's principle of least constraint), ומאמרו משנת 1830 על קפילריות: Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii, בו דן בנוזלים במצב שיווי משקל ופתר את הבעיות המרכזיות בתחום. בתקופה זו החל גם להתעניין בקריסטלוגרפיה, והגיע למספר תוצאות חשובות. בהשראת מחקרו הקריסטלוגרפי, גאוס פתר את בעיית "אריזת הכדורים האופטימלית" - הוכחת השערת קפלר - במקרה של מארז סריגי (lattice) רגולרי (אי-האפשרות של אריזות לא רגולריות צפופות יותר לא הוכחה עד 1998).

 

ב-1831 החל גאוס בשיתוף פעולה עם הפיזיקאי וילהלם ובר. שיתוף פעולה זה היה פורה ביותר והוביל לידע חדש בתאוריה של חשמל ומגנטיות, כגון ייצוג של יחידה מגנטית במונחים של מסה, אורך וזמן, וכן גילוי חוקי קירכהוף. ובר וגאוס הגיעו לתגליות רבות בנוגע לחשמל סטטי, תרמי, וזה הנובע מחיכוך, אך לא פרסמו, בעיקר משום שמחקרם התמקד במגנטיות ארצית. גאוס עצמו ניסח את חוק גאוס באלקטרוסטטיקה (שמהווה מקרה פרטי של משפט גאוס באנליזה וקטורית), אחד החוקים הבסיסיים והחשובים ביותר בתחום זה, כמו גם את חוק גאוס במגנטיות. השיא של עבודתו של גאוס באלקטרומגנטיות עסק באלקטרודינמיקה, ובעוצמה של כוחות אלקטרודינמיים. גאוס היה מסוגל לרשום את המשוואות הכלליות המתארות את האינטראקציה האלקטרומגנטית בין מטענים נעים. מאוחר יותר הכליל ובר את משוואות האלקטרודינמיקה של גאוס גם למקרה של מטענים מואצים, כדי לכלול את ההשפעה של קרינה אלקטרומגנטית הנוצרת על ידי מטען אחד על המטען השני, ותמונת גאוס - ובר של האלקטרודינמיקה עודנה התיאור השלם ביותר של האלקטרודינמיקה הקלאסית. ב-1833, תכננו גאוס וובר את הטלגרף האלקטרומגנטי הראשון, שקישר בין מצפה הכוכבים אל מכון הפיזיקה בתוך אוניברסיטת גטינגן. גאוס וובר עמדו מיד על חשיבות המצאתם להתפתחות התעשייתית בעולם, וובר התנבא כי "הטלגרף יעשה לעולם את מה שמערכת העצבים עשתה לגוף האנושי". המעבדה של גאוס וובר הייתה אחראית על פיתוח מספר אמצעי מדידה בתחום האלקטרומגנטיות, ובין היתר גאוס המציא את המגנטומטר הראשון. באמצעות המגנטומטר שהמציא מדד ב-1835 לראשונה את עוצמת השדה המגנטי של כדור הארץ. כמו כן פיקח גאוס על בנייתו של מתקן מגנטי במצפה הכוכבים, ויחד עם ובר ייסד את magnetischer Verein ("המועדון המגנטי") אשר תמך במדידות של השדה המגנטי של כדור הארץ באזורים שונים, והניב את ה-"אטלס המגנטי" הראשון של כדור הארץ. כחלק מניסוי זה פיתח גאוס שיטה למדידת העוצמה האופקית של שדה מגנטי, שיטה אשר נעשה בה שימוש רב במחצית השנייה של המאה ה-20 והיוותה למעשה את התאוריה המתמטית להפרדה בין המקור הפנימי (הגלעין והקרום) והחיצוני (מגנטוספירה) של השדה המגנטי של כדור הארץ. באחד ממאמריו על התאוריה המגנטית שלו, מאמר שתואר כ"אחד המאמרים החשובים של המאה", יישם גאוס את התאוריה המתמטית שלו והמידע הניסויי הרב שצבר על השדה המגנטי של כדור הארץ, וכך פילסה את עצמה תגלית עולמית כאשר גאוס יכול היה לנבא ואף, לראשונה בהיסטוריה, להצביע על המיקום המדויק של הקטבים המגנטיים של כדור הארץ, נושא שריתק ימאים מאז ימי קדם.

 

מספר שנים קודם לכן, ב-1831, מגלה הארצות הבריטי ג'יימס קלארק רוס איתר לראשונה באופן מקורב את הקוטב המגנטי הצפוני. תוצאות חישוביו של גאוס הצביעו על אותו אזור גאוגרפי, וסטו כ-3 מעלות ו-30 דקות קשת מהמיקום האמיתי, מה שהוכיח את אמינות התאוריה.

 

ב-1840 פרסם גאוס את חיבורו המשפיע Dioptrische Untersuchungen, שבו תיאר את האנליזה השיטתית הראשונה של היווצרות דמויות תחת הקירוב הפרקסיאלי (אופטיקה גאוסיאנית). בין התוצאות הרבות בחיבור, הוכיח גאוס כי מערכת אופטית ניתנת לאפיון באמצעות 6 הנקודות הקרדינליות שלה, גזר את נוסחת העדשות הגאוסיאנית, טיפל לראשונה באופן מתמטי בעדשות עבות, והראה שההדמיה של מערכות אופטיות סימטריות מסוימות ניתנת לביטוי כפיתוח לטור שבו האיבר הראשון מספק את ההתנהגות הסטיגמטית האידאלית והאיברים מסדרים גבוהים יותר מתארים את האברציות. גאוס פעל גם במישור הפרקטי של האופטיקה, חקר את הבעיה של בניית אופטיקה עם עיוותים מינימליים, ושיפר את התכנון של טלסקופים ומכשירים אופטיים אחרים. ה-Dioptrische היה בעל השפעה רבה על תלמידיו של גאוס שפנו לתחום האופטיקה, כמו ארנסט אבה ואחרים, והתוצאה של ההשפעה הזו הייתה זריקת מרץ להתפתחות התעשייה האופטית בגרמניה.

 

בסיסי ככל שהוא נראה היום, חיבור זה עסק בנושאים רבים שלא הובנו היטב לפני פרסומו, לפחות לא באופן מתמטי מדויק, ומסיבה זו בדיוק היסטוריונים אחדים כינו לפעמים את החיבור "עבודתו המדעית החשובה ביותר".

 

אחרי 1840 פעילותו המדעית של גאוס הלכה והצטמצמה בהדרגה. הוא עסק בבעיות מתמטיות בעלות חשיבות משתנה; מספר פאזלים קומבינטוריים (ביניהם חידת שמונה המלכות), בעיות מתמטיות מרכזיות מסוימות ועוד. הוא המשיך לעסוק בבעיות בפיזיקה תאורטית ובפיזיקה ניסויית. הוא עדיין נותר פעיל מאוד באסטרונומיה תצפיתית; הוא המשיך לעשות תצפיות וחישובים אסטרונומיים, וכן נותר פעיל במחקרו על מגנטיות כדור הארץ. מחקריו המתמטיים והפיזיקליים עסקו בהתכנסות של טורים, מתמטיקה אקטוארית, בעיות מכניות הקשורות בסיבוב כדור הארץ (בהמשך למחקריהם של לגראנז', פלאנה, הנסן וקלאוזן), בשיפורים למטוטלת פוקו ועוד. בתקופה זו גאוס נפל לתחביב של לאסוף עיתונים וכל סוג שהוא של חדשות פיננסיות. הוא נודע כמשקיע חכם במיוחד, וממשלות רבות ברחבי אירופה הציעו לו להיות שר אוצר. הספקולציות הפיננסיות שלו עזרו לו להשיג הכנסה שנתית הגבוהה פי 200 מהמשכורת השנתית שלו. ב-1851, הוא ביסס בפעם האחרונה אוסף חדש של עקרונות מדעיים, הפעם במתמטיקה אקטוארית - בנוגע לתאוריות המתמטיות של ביטוחים וקרנות פנסיה.

 

ב-1854 גאוס באופן ראוי לציון בחר את הנושא להרצאה הכעת מפורסמת של תלמידו ברנהרד רימן - "על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה". בדרך חזרה הביתה מהרצאתו של רימן, ובר דיווח שגאוס היה מלא בשבחים והתרגשות.

גאוס נפטר בשנת 1855 (כחודשיים לפני יום הולדתו ה-78), בגטינגן, שם אף נקבר. מוחו של גאוס לא נקבר עמו אלא נמסר למחקר מדעי; נמצא כי משקלו 1,492 גרם ושטחו הצֶרֶבְּרָלִי 219,588 סמ"ר. נמצאה גם רמת פיתולים גבוהה במיוחד, ממצא אשר בתחילת המאה ה-20 הוצע כהסבר לגאונות שלו.

 

לאחר מותו של גאוס נמצא בביתו יומן, שלימים הפך לאחד המסמכים החשובים בהיסטוריה של המתמטיקה. ביומן זה, אותו ניהל בין השנים 1796 ו-1814, רשם גאוס את תגליותיו בצורה מדויקת כשהוא מקפיד לרשום את תאריך הגילוי וההוכחה של כל אחת מהן. רובן נותרו לא מפורסמות. נמצא כי היומן מכיל 146 תוצאות, אשר חלק מהן התגלו והוכחו על ידי מתמטיקאים אחרים שנים רבות לאחר מכן, כמו למשל "המשפט היסודי של פונקציות של משתנה מרוכב" - משפט אינטגרל קושי, שנוסח בידי גאוס בטרם התגלה על ידי קושי ונקרא על שמו, וכן גילוי הקווטרניונים בטרם גילה אותם ויליאם רואן המילטון. יתרה מכך, בנכלאס שלו נמצאו תוצאות חלוציות מוקדמות רבות בטופולוגיה ותורת הקשרים (ככל הנראה גאוס הוא שסיפק את הגירוי הראשוני לתלמידיו רימן, מביוס, וליסטינג לעסוק בטופולוגיה).