בעבודתו המתמטית של ניוטון הייתה תרומה משמעותית לכל ענפי המתמטיקה שנחקרו בזמנו. עבודתו הראשונית בחשבון דיפרנציאלי או בלשונו "fluxions", מתוארכת לכתב היד "על אנליזה באמצעות משוואות המכילות אינסוף איברים" מאוקטובר 1666. כתב היד העוסק בטורים אינסופיים הוא חלק ממכתב ששלח אייזק בארו לג'ון קולינס באוגוסט 1669, ובו מציין בארו:
מר ניוטון, בוגר של הקולג' שלנו, איש צעיר מאוד... אך בעל גאונות ומיומנות יוצאת מגדר הרגיל בנושאים הללו.
ההצגה השיטתית הראשונה של רעיונותיו המכלילים את תוצאותיהם של המתמטיקאים היוונים (במיוחד של ארכימדס) על חישוב שטחים ונפחים של עקומים וגופים מופיעה בספר הראשון של הפרינקיפיה (שפורסם מאוחר לניסוח שיטותיו רק ב-1687). ההוכחות בפרינקיפיה לא נכתבו בניסוח של "חשבון אינפיניטסימלי" כפי שאנו מכירים אותו כיום, אלא מציגות גִרסה גאומטרית לשפת ה"קלקולוס" (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - חדו"א) המתבססת על ערכי גבול של יחסי גדלים ה"הולכים וקטנים". בספרו, ניוטון כינה שיטה זו בשם "שיטת היחסים הראשונים והאחרונים", הסביר מדוע הוא מציג את תוצאותיו בצורה הזו, והעיר כדרך אגב שהתהליכים הגאומטריים שתיאר שקולים לחישובים המבוצעים באמצעות "שיטת הגדלים הבלתי ניתנים לחלוקה (כלומר אינפיניטסימלים)". חשוב לציין את ההקשר בו כותב ניוטון הערה זו - באותם הימים ניסוח חשבון הגבולות, שהוא הכלי המרכזי בחדו"א, טרם עמד על יסודות איתנים, ובמידה רבה נחשב אזוטרי ולא מקובל בחוגי המתמטיקה הרציניים. ניוטון הבין את היעילות בניסוח חשבון הגבולות, או "חשבון האינסופיים" (האינפינטיסמלים), כפי שכונה באותם הימים, אך היעדר המסד הלוגי הנדרש להוכחות מתמטיות והגדרת מושגי יסוד והנחות יסוד ברורות ופשוטות מנע ממנו לעשנות שימוש בו. בשל כך לא יכל ניוטון לעשות שימוש בשיטות החדו"א שפיתח כדי להוכיח טענות מתמטית, ולא הייתה לו בררה אלא לעמול על הוכחות גאומטריות הדורשות משאבי ידע גדולים בהרבה. בהערתו ביקש להראות את יעילותן של השיטות ב"חשבון האינסופיים" (החדו"א) על פני ההוכחות הגאומטריות. במרוצת השנים נוסחו ההוכחות של ניוטון מחדש באמצעים אנליטיים במה שמכונה ההמכניקה האנליטית על ידי לגראנז', ומשנוסח החדו"א כהלכה על ידי קושי ואחרים נזנח לחלוטין השימוש בהוכחות הגאומטריות, והן בעיקר נחלתם של מתמטיקאים.
ברבות השנים התפתחה מחלוקת בין ניוטון לגוטפריד וילהלם לייבניץ בשאלת הבכורה על פיתוח החשבון האינפיניטסימלי. רוב ההיסטוריונים המודרניים מאמינים כי ניוטון ולייבניץ גילו ופיתחו את החדו"א באופן בלתי תלוי.
ניוטון, ככל הנראה, הקדים את לייבניץ, אך פרסם מעט מאוד מפיתוחיו עד 1693, ולא סיפק הסבר מלא עד 1704. מאוחר יותר טען ניוטון כי התעכב בפרסום רשימותיו מחשש שילעגו לו. לייבניץ, לעומת זאת, פרסם הסבר מלא של השיטות שלו כבר ב-1684. כמו כן הרשימות של לייבניץ מפורטות ביותר לגבי הפיתוחים שלו לעומת רשימותיו של ניוטון שהציגו תוצאות סופיות בלבד. הסימון של ניוטון היה "סימון הנקודה של ניוטון" ואילו לייבניץ הסתמך על "סימון דיפרנציאלי", והאחרון הוא שאומץ בקרב מרבית המתמטיקאים. אף הסימונים האחרים של לייבניץ בחשבון האינפיניטסימלי נחשבו למקובלים יותר מאשר אלו של ניוטון.
ב-1699 העימות, ארוך השנים, על זכות הראשונים הפך ציבורי. הקהילה האוניברסיטאית האנגלית תמכה בניוטון, אך המתמטיקאים בשאר מדינות אירופה תמכו בלייבניץ, שהוכחותיו הבהירות והמפורטות יותר פורסמו קודם לכן ולכן גם נלמדו והשתרשו. כך נוצרה הפרדה בין הפעילות המתמטית באנגליה לזו של אירופה היבשתית. ניוטון אף גייס את החברה המלכותית, שהיה מזכירה, וב-1712 פורסם מסמך מטעמה שטען כי זכויות הגילוי הן של ניוטון, והאשים את לייבניץ בגניבה ספרותית. אמינותו של המסמך הוטלה בספק כאשר התברר מאוחר יותר כי ניוטון עצמו הוא שכתב חלקים ממנו.
חלפו למעלה מ-200 שנה עד שהמצב התברר לאשורו וכיום ניתן הקרדיט על המצאת החדו"א הן לניוטון והן ללייבניץ, והמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי נקרא גם משפט ניוטון-לייבניץ.
ניוטון יישם את החשבון האינפיניטסימלי בפתרון מגוון בעיות: חישוב שטחים תחת עקומים, שיפועי משיקים, אורך של עקומות ומינימום ומקסימום של פונקציה. עבודתו בפיתוח ובשימוש בטורים אינסופיים הייתה חלוצית, בייחוד הצגה של פונקציות שונות כטורים (ראו טור טיילור), אשר אותם העריך באמצעות שיטות קירוב חדשניות. ניוטון הציג לראשונה את משפט הבינום המוכלל (אשר נקרא על שמו – הבינום של ניוטון), הוא קירב סכומים חלקיים של הסדרה ההרמונית באמצעות לוגריתמים (בכך הקדים את נוסחת הסכום של אוילר) ותרם לחקר טורי חזקות. במסגרת מחקרו על טורי חזקות גילה את הפיתוח הפורמלי של פונקציות לטורי חזקות מסוג טורי פואיזֵה (המכלילים את טורי החזקות הרגילים), כ-200 שנה לפני שפותחו עצמאית על ידי ויקטור פואיזה (Victor Puiseux). כחלק מעבודה זו הציג את שיטת "מצולע ניוטון" (Newton polygon) המאפשרת להעריך התנהגות עקומים פולינומיים מעל שדה מקומי, תחום עיסוק מרכזי של ניוטון גם בגלל השימושיות הרבה שלו בפיזיקה. הוא תרם תרומות חשובות לתורה של הפרשים סופיים ולפתרון משוואות דיופנטיות. הוא פיתח והציג את זהויות ניוטון, שיטת ניוטון-רפסון להערכה נומרית של שורשי פונקציה, ומיין את העקומים המעוקבים במישור (פיתוח התורה של פולינומים ממעלה שלישית בשני משתנים). סקירה שימושית מאוד של המתמטיקה של ניוטון נכתבה על ידי המלומד, טום ויטסייד (Tom Whiteside), שתרגם וערך את כל הכתבים המתמטיים של ניוטון ובסוף חייו כתב סיכום על עבודתו המתמטית של ניוטון והשפעתה.
ניוטון כה מפורסם בשל עבודתו החלוצית על החדו"א, שקל להחמיץ עובדת היותו אחד הגאומטרנים הגדולים ביותר. בלב מחשבתו המתמטית עמדה הגישה הגאומטרית הסינתטית, והוא בדרך כלל הציג הוכחות מוגמרות בצורה של טיעונים גאומטריים, גם כי אלה היו למעשה היחידים שהיו מקובלים מתמטית. הוא פתר את בעיית פאפוס. בין משפטים גאומטריים רבים, הוא הוכיח מספר על מרובעים והאליפסות החוסמות והחסומות בהם. הוא בנה את הפרבולה המוגדרת על ידי ארבע נקודות. במסגרת חקירותיו את העקומים האלגבריים (ראו גם חתכי חרוט ועקום אליפטי), היה הראשון לקבוע את משפט בזו (Bézout's theorem), תוצאה יסודית וחשובה בגאומטריה אלגברית, הקובעת כי מספר נקודות החיתוך של שני עקומים אלגבריים פרויקטיביים מדרגות n ו-m שווה למכפלת הדרגות שלהם nm.
ב-1669 נבחר ניוטון לכהן כפרופסור למתמטיקה בקתדרה למתמטיקה על שם לוקאס באוניברסיטת קיימברידג'. באותם ימים, כל בעל משרה באוניברסיטת קיימברידג' או באוניברסיטת אוקספורד היה חייב להיות גם כומר אנגליקני מוסמך. למרות זאת, באופן חריג, התנאים של הקתדרה על שם לוקאס דרשו שלא להיות פעיל בכנסייה (ככל הנראה היה זה כך על מנת שלמחזיקים במשרה יהיה זמן רב יותר לעסוק במדע). ניוטון טען שדרישה זו פוטרת אותו מההסמכה לכמורה, וצ'ארלס השני, מלך אנגליה, שאישורו היה הכרחי, קיבל את הטענה. בדרך זו נמנעה התנגשות בין אמונתו של ניוטון (שהיה אדם מאמין אם כי כנראה לא אנגליקני), ובין הכנסייה האנגליקנית.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה