לייב נולד ב-1962 במושב בית חנן, שם עסקו הוריו בחקלאות. הוא בוגר המחזור השני של תוכנית תלפיות וקיבל תואר ראשון בפיזיקה ומתמטיקה ב-1983, תואר שני בפיזיקה ב-1985 ותואר דוקטור בפיזיקה ב-1986, כולם מהאוניברסיטה העברית. במסגרת שירותו הצבאי עבד במרכז למחקר גרעיני - שורק כתאורטיקן הראשי של קבוצה שעסקה בפיתוח טכנולוגיית הנעה אלקטרומגנטית. לאחר שתעשיית ההגנה האמריקנית גילתה עניין באפשרות לשלב את הטכנולוגיה שפיתח ביוזמת ההגנה האסטרטגית, הוא הגיע לארצות הברית, שם היה חבר במשך חמש שנים בסגל המכון למחקר מתקדם (IAS) בפרינסטון. ב-1993 מונה לפרופסור במחלקת האסטרונומיה של אוניברסיטת הרווארד. מאז 2011 הוא עומד בראש המחלקה.
לייב כתב או השתתף בכתיבתם של למעלה מ-500 מאמרים אקדמיים, על מגוון רחב מאוד של נושאים, לרבות המפץ הגדול, קרינת הרקע הקוסמית, התפתחות הכוכבים הראשונים, אסטרונומיה של קו המימן, תנועת הגלקסיות, פיזיקת חלקיקים, קרניים קוסמיות, חורים שחורים, גלי כבידה, אסטרוביולוגיה, מערכת השמש, מכשור מדעי ואסטרונאוטיקה.
לייב מרבה לכתוב על בעיות שונות בסוציולוגיה של המדע, כגון נטייתם של אקדמאים בכירים לקדם עמיתים צעירים בעלי דעות דומות לשלהם; הנטיה, כאשר נשקל קידומו של אקדמאי, לבדוק בעיקר את הישגיו המוקדמים, תוך התעלמות מפועלו בשלבים מאוחרים יותר של הקריירה;[2] או הנטיה של פיזיקאים תאורטיים להאמין בנכונותה של תאוריה, כגון תורת המיתרים, גם כאשר אין שום מידע ניסויי המאשר אותה.
ב-2016 יסד והתמנה למנהל הראשון של מיזם המחקר על חורים שחורים (Harvard Black Hole Initiative), שהינו מרכז מחקר בינתחומי ראשון מסוגו, המשלב חוקרים מתחומי האסטרונומיה, הפיזיקה, המתמטיקה והפילוסופיה.
לייב כתב שני ספרים אקדמיים, How Did The First Stars and Galaxies Form? ב-2010 ו-The First Galaxies in the Universe ב-2012 (עם סטיבן פורלאנטו), על התפתחות המבנים הקוסמיים הראשונים, הגרסה המדעית לסיפור הבריאה של "ויהי אור". ב-2015 פרסם את ספר המדע הפופולרי מהכוכב הראשון עד לאחרית הימים (From the First Star to Milkomeda), המשלב כתיבה מדעית על סוגיות חלליות עם קטעים ממחברות שכתב לייב בשנות נעוריו. הספר יצא לאור בעברית בהוצאת כרמל.
ב-2016 מונה לתפקיד יושב ראש הוועדה המייעצת של פרויקט Breakthrough Starshot, שנוסד על ידי היזם יורי מילנר. חברים נוספים בוועדה המייעצת כוללים את הפיזיקאים סטיבן הוקינג ופרימן דייסון וזוכי פרס נובל לפיזיקה סטיבן צ'ו וסול פרלמוטר. מטרת הפרויקט היא להביא חלליות זעירות, שמאסת כל אחת מהן כגרם, אל מערכת הכוכבים אלפא קנטאורי, המרוחקת כ-4.3 שנות אור מכדור הארץ, תוך כ-20 שנים ממועד שיגור החללית. לשם כך, ידרש להאיץ את החלליות לכ-20% ממהירות האור, דבר שלא ניתן לעשותו באמצעות טכנולוגיות ההנעה הכימית המוכרות כיום.
תחת זאת, מוצע להשתמש במפרש לייזר שיחובר אל החללית הזעירה ואשר יונע על ידי מערך מופע של קורני לייזר על פני כדור הארץ, עם הספק כולל של כ-100 ג'יגאוואט. אם הפרויקט ישיג את מטרתו, תהפוכנה החלליות לעצמים מעשה ידי אדם המהירים והרחוקים ביותר אי פעם. לייב כותב מאמרים אודות סוגיות שונות הנוגעות לפרויקט השאפתני, כגון הבעיה של פגיעת אבק קוסמי בעצם שמהירותו כה גבוהה, או שיטות ליצוב המפרש כאשר קרן הלייזר מאיצה אותו.
אבי לייב נשוי, אב לשתי בנות ומתגורר בלקסינגטון, מסצ'וסטס.
